The results in this thesis focus on the dynamical behaviour of forced circle diffeomorphisms, which can be modelled as skew-product maps on the two-dimensional torus. For notable forced systems such as chaotically forced Schrödinger cocycles and quasi-periodically forced Arnol’d circle maps, various numerical studies have revealed the occurrence of diverse dynamical behaviours. This thesis contributes to building a theoretical framework that reveals the conditions and mechanisms that govern the rich hyperbolic behaviour in certain forced systems. 

In Paper A, we quantify the non-uniform hyperbolic behaviour of Schrödinger cocycles over expanding base maps, for an open class of potential functions. For cocycles with strongly expanding circle maps on the base, we establish asymptotic results for their Lyapunov exponents in the large coupling regime, which are uniform for all real values of energy. In Paper B, the focus is broadened to a class of circle maps forced by uniformly expanding circle endomorphisms. We establish open conditions, where the skew-product maps on the fibre are typically non-monotonic in the base variable, for which the Lyapunov exponents on the fibre are negative Lebesgue almost everywhere. This implies non-uniform hyperbolicity and consequently, local convergence of orbits on a fibre. Thus, the results in Paper A and Paper B contribute to the understanding of forced systems with highly chaotic forcing.

In Paper C, we study circle diffeomorphisms with two attracting and two repelling fixed points under quasi-periodic forcing. For a set of frequencies of positive measure, we prove the synchronisation of orbits on the same fibre. This proves the existence of a unique attracting and a unique repelling invariant graph. Thus, the results precisely  describe the non-chaotic behaviour in these systems. Further, the geometric structure of these invariant graphs gives key insights on the non-uniform hyperbolicity of the system and statistical properties of Lebesgue almost every point on the two-dimensional torus.

Resultaten i denna avhandling fokuserar på det dynamiska beteendet hos drivna cirkel-diffeomorfier, vilka kan modelleras som skevprodukt-avbildningar på den tvådimensio-nella torusen. För ett flertal klasser av drivna system, såsom kaotiskt drivna Schrödinger-cocykler och kvasi-periodiskt drivna Arnol'd-cirkelavbildningar, har numeriskastudier visat förekomsten av en mångfald av dynamiska beteenden. Denna avhandlingbidrar till att utveckla ett teoretiskt ramverk med målet att klargöra de villkor och mekanismer somstyr det rika hyperboliska beteendet i olika klasser av drivna system.

I Artikel A kvantifierar vi, för en öppen klass av potentialfunktioner i regimen med stark koppling,det icke-likformigt hyperboliska beteendet hos Schrödinger-cocykler över starkt expanderande cirkelavbildningar.Mer precist visar vi asymptotiska formler för deras Lyapunov-exponenter.I Artikel B breddas fokus till en klass av cirkelavbildningarsom drivs av likformigt expanderande cirkelendomorfier. Vi etablerar öppna villkor,där skevproduktavbildningarna i fibern typiskt sett är icke-monotona i basvariabeln,för vilka Lyapunov-exponenterna i fibern är negativa för nästan varje punkt.Detta implicerar icke-likformig hyperbolicitet och därmed lokal konvergens av banor längsen fiber. Således bidrar resultaten i Artikel A och Artikel B till förståelsen av drivnasystem med starkt kaotisk drivning.

I Artikel C studerar vi cirkeldiffeomorfier med två attraherande och två repellerandefixpunkter under kvasi-periodisk drivning. För en mängd av frekvenser med positivt mått visarvi synkronisering av banor längs samma fiber. Detta bevisar existensen av en unik attrahe-rande och en unik repellerande invariant graf. Således ger resultaten en precis beskrivningav det icke-kaotiska beteendet i dessa system. Vidare ger den geometriska strukturen hosdessa invarianta grafer viktiga insikter om systemets icke-likformiga hyperbolicitet ochde statistiska egenskaperna hos nästan varje punkt på den tvådimensionellatorusen.