Studying the distributions of special numbers is a fundamental area of research in number theory. This paper studies the distribution of sums of two squares using analytic number theory. The asymptotic behaviour of the corresponding counting function, B(x), is the object of study. The rate of convergence for the relative error has not been in focus previously and the current formulas underperform when used to evaluate B(x). We introduce a Dirichlet series and use Perron’s formula to retrieve the first terms in the series. The integral is however unwieldy and numerically hard to calculate. Therefore the Dirichlet series is analytically extended and a branchcut is then introduced. Neglecting some parts of a new encircling contour in the complex plane allows for a simpler integral to arise. This can in turn be approximated into an explicit series formula with arbitrary many coefficients. The rest of the paper discusses a numerical method for evaluating the coefficients in the series and the results for the new formula. This paper is a small continuation of the work done by Daniel Shanks who calculated the first 2 coefficients with good precision. By calculating higher order coefficients we achieve even greater precision for large x. There also exists work that can be done to extend this report. Further extending analyticity of the Dirichlet series would allow for correction terms, hopefully reducing the asymptotic error to be close to the fourth root of x instead of the current square root error when assuming RH. Also the exact number of correct significant decimals in the calculated coefficients can be discussed further

Att studera fördelnigen av speciella tal är en fundamental del av talteorin. Denna rapport behandlarfördelningen hos summor av två kvadrater genom användningen av analytisk talteori. I rapportensfokus ligger det asymptotiska beteendet av den motsvarande räknefunktionen, B(x). Konvergenstaktenför approximationen har inte varit i fokus tidigare och underpresterar när det kommer tillfaktiskt evaluera B(x). Vi introducerar en Dirichletserie och använder den i Perrons formel för attta fram de första termerna i talföljden som generear Dirichletserien. Denna integral är dessvärreotymplig och än svårare att evaluera numeriskt. Dirichletserien utvidgas därmed analytisk och engrenskärning i det komplexa talplanet introduceras. Konturen från Perron sluts och delar utav dennya konturen förkastas för att kunna likställa den sökta integralen med en enklare. Den kan dåapproximeras med en explicit serie med godtyckligt många termer. Resten av rapporten behandlaren numerisk implementation för att ta fram koefficienterna i serien och sedan resultaten från dennya approximationsformeln. Denna rapport är en liten fortsättning på arbetet av Daniel Shankssom beräknade de första 2 koefficienterna med bra noggrannhet. Genom att beräkna högre ordningenskoefficienter uppnår vi ännu högre precision i approximationen för stora x. Det finns fleramöjligheter för att utvidga detta arbete. Genom att vidare utvidga analyciteten hos Dirichletserienkan man förhoppningsvis plocka upp korrektionstermer som reducerar det asymptotiska felettill fjärderoten av x istället för det nuvarande roten ur x ifall man antar RH. Det exakta antaletkorrekta värdesiffror i de uträknade koefficenterna kan även diskuteras vidare.