Change search
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
Dynamical Functional Particle Method applied to the Schrödinger Equation: Exact solutions of three-body exotic ions
Mid Sweden University, Faculty of Science, Technology and Media, Department of Natural Sciences, Engineering and Mathematics.
2012 (English)Independent thesis Advanced level (degree of Master (Two Years)), 20 credits / 30 HE creditsStudent thesis
Abstract [en]

The aim of this master thesis has been to solve the fully correlated non-relativistic Schrödinger Equation for three-particle systems by using the Dynamical Functional Particle Method (DFPM) and control the solutions by comparing with the results from the literature. The three-particle systems that has been analyzed is helium, a muon-based ion and the negative ion of positronium. The Schrödinger equation for S-states has been transformed and derived, and the wavefunction has been substituted to a wavefunction that treated the Cusp conditions when two particles approach each other as boundary condition by using the knowledge that the wavefunction is limited everywhere. The discrete grids for the distances were transformed so that the outer boundary condition could be placed further from the origin and obtain better description of the wavefunction. By using the chain rule and quotient rule, the Schrödinger Equation was transformed again and finite differences resulted in a discrete dynamical system that was programmed in C-code and iteratively stepped to the solution of the systems energy. The continuum energy was determined by applying Richardson extrapolation with the values of the energy for different step sizes. The resulting energies were -2.903304 (-2.90330456) a.u. in ground state and -2.174934 (-2.17493019) a.u. in first excited state for helium, -97.57 (-97.5669834) a.u. in ground state for the muon-based ion and -0.258405 (-0.262) a.u. in ground state for the negative ion of positronium, where the values in the parentheses are values from the literature, and the values were consistent with the results from literature. But the values obtained here were in general more exact due to the non-approximated method. There were limited precision during the calculations and the condition number of the matrices with the step sizes was high for small step sizes and results in a uncertainty and not more than 5-6 significant figures can be used for the value of the energies. A better value had been obtained if for example Multi Precision had been used because it can handle a high condition number. The curse of dimensionality is hard to beat and methods for treating bigger systems with DFPM has to be developed in order to have a higher order of the differential equation with respect to time and to increase the maximum time step to make the calculations faster.

Keywords: Dynamical Functional Particle Method, Schrödinger Equation, three-particle systems, helium, muon, positronium

Abstract [sv]

Syftet med detta examensarbete har varit att lösa den fullt korrelerade icke-relativistiska Schrödingerekvation för tre-partikelsystem genom användning av partikelmetoden Dynamical Functional Particle Method (DFPM) och kontrollera resultaten med värden från litteraturen. De system som har analyserats är helium, en muon-baserad jon och negativ laddad positronium. Schrödingerekvationen för S-tillstånd har transformerats och härletts och vågfunktionen har substituerats till en annan vågfunktion som kan behandla Cusp-villkoren när två partiklar närmar sig varandra som randvillkor genom att använda kunskapen om att vågfunktionen är begränsad överallt. Det diskreta rutnätet med diskreta punkter för avstånden transformerades för att kunna placera det yttre randvillkoret längre bort från origo och därigenom erhålla en bättre beskrivning av vågfunktionen. Med hjälp av kedjeregeln och kvotregeln transformerades Schrödingerekvationen igen och med finita differenser skapades ett diskretiserat dynamiskt system som programmerades i C-kod och iterativt stegade fram till lösningen av systemets energi. Kontinuumvärdet av energin bestämmdes genom att använda Richardsonextrapolation med värdena på energin som bestämdes för olika steglängder. Resultaten blev -2.903304 (-2.90330456) a.u. för grundtillstånd och -2.174934 (-2.17493019) a.u. för första exciterade tillståndet för helium, -97.57 (-97.5669834) a.u. för muonbaserade jonens grundtillståndet och -0.258405 (-0.262) a.u. för grundtillståndet för negativt laddade positronium där värdena inom paranteserna är värden från litteraturen, och resultaten stämde bra överens med litteraturvärden. Men de erhållna energierna är ofta mer exakta eftersom ingen approximation gjordes. Beräkningarna utfördes med begränsad precision, och konditionstalet för matriserna med steglängderna var högt vid väldigt små steglängder, vilket orsakar en osäkerhet och endast 5-6 siffror kunde användas i svaret. Bättre resultat hade erhållits om t.ex. multiprecision hade används eftersom det kan hantera matriser med högt konditionstal. Dimensionens förbannelse är svår att besegra och för behandling av större system måste ordningen för differentialekvationen med avseende på tiden i DFPM öka för att öka det maximala tidssteget och därigenom få snabbare beräkningar.

Nyckelord: DFPM, schrödingerekvationen, tre-partikelsystem, helium, muon, positronium

Place, publisher, year, edition, pages
2012. , 61 p.
National Category
Natural Sciences
Identifiers
URN: urn:nbn:se:miun:diva-16433OAI: oai:DiVA.org:miun-16433DiVA: diva2:533372
Subject / course
Physics FY1
Educational program
Civilingenjör i teknisk fysik TTFYA 300 hp
Presentation
2012-05-29, O102, Sundsvall, 14:15 (Swedish)
Uppsok
Physics, Chemistry, Mathematics
Supervisors
Examiners
Available from: 2013-01-09 Created: 2012-06-13 Last updated: 2013-01-09Bibliographically approved

Open Access in DiVA

fulltext(1019 kB)243 downloads
File information
File name FULLTEXT01.pdfFile size 1019 kBChecksum SHA-512
c3809c48241f7b6c79857726abbc1e5d4737c872b03f4358e1bd576e2ee3e4361c57b13b5d2066ce8e0c6ad639ec04f6689e83dee39298d920e0fe8143ecb14f
Type fulltextMimetype application/pdf

By organisation
Department of Natural Sciences, Engineering and Mathematics
Natural Sciences

Search outside of DiVA

GoogleGoogle Scholar
Total: 243 downloads
The number of downloads is the sum of all downloads of full texts. It may include eg previous versions that are now no longer available

urn-nbn

Altmetric score

urn-nbn
Total: 180 hits
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf