Change search
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
Orthogonal Polynomials, Operators and Commutation Relations
Mälardalen University, School of Education, Culture and Communication. (Mathematics and Applied Mathematics (MAM))
2017 (English)Licentiate thesis, monograph (Other academic)
Abstract [en]

Orthogonal polynomials, operators and commutation relations appear in many areas of mathematics, physics and engineering where they play a vital role. For instance, orthogonal functions in general are central to the development of Fourier series and wavelets which are essential to signal processing. In particular, as demonstrated in this thesis, orthogonal polynomials can be used to establish the L2-boundedness of singular integral operators which is a fundamental problem in harmonic analysis and a subject of extensive investigations. The Lp-convergence of Fourier series is closely related to the Lp-boundedness of singular integral operators. Many important relations in physical sciences are represented by operators satisfying various commutation relations. Such commutation relations play key roles in such areas as quantum mechanics, wavelet analysis, representation theory, spectral theory, and many others.

This thesis consists of three main parts. The first part presents a new system of orthogonal polynomials, and establishes its relation to the previously studied systems in the class of Meixner–­Pollaczek polynomials. Boundedness properties of two singular integral operators of convolution type are investigated in the Hilbert spaces related to the relevant orthogonal polynomials. Orthogonal polynomials are used to prove boundedness in the weighted spaces and Fourier analysis is used to prove boundedness in the translation invariant case. It is proved in both cases that the two operators are bounded on L2-spaces, and estimates of the norms are obtained.

The second part extends the investigation of the boundedness properties of the two singular integral operators to Lp-spaces on the real line, both in the weighted and unweighted spaces. It is proved that both operators are bounded on these spaces and estimates of the norms are obtained. This is achieved by first proving boundedness for L2 and weak boundedness for L1, and then using interpolation to obtain boundedness for the intermediate spaces. To obtain boundedness for the remaining spaces, duality is used in the translation invariant case, while the weighted case is partly based on the methods developed by M. Riesz in his paper of 1928 for the conjugate function operator.

The third and final part derives simple and explicit formulas for reordering elements in an algebra with three generators and Lie type relations. Centralizers and centers are computed as an example of an application of the formulas.

Abstract [sv]

Ortogonala polynom, operatorer och kommutationsrelationer förekommer i många områden av matematik, fysik och teknik där de spelar en viktig roll. Till exempel ortogonala funktioner i allmänhet är centrala för utvecklingen av Fourierserier och wavelets som är väsentliga för signalbehandling. I synnerhet, såsom visats i denna avhandling, kan ortogonala polynom användas för att fastställa L2-begränsning av singulära integraloperatorer vilket är ett fundamentalt problem i harmonisk analys och föremål för omfattande forskning. Lp-konvergensen av Fourierserien är nära relaterad till Lp-begränsning av singulära integraloperatorer. Många viktiga relationer i fysik representeras av operatorer som uppfyller olika kommutationsrelationer. Sådana kommutationsrelationer spelar nyckelroller i områden som kvantmekanik, waveletanalys, representationsteori, spektralteori och många andra.

Denna avhandling består av tre huvuddelar. Den första delen presenterar ett nytt system av ortogonala polynom, och etablerar dess förhållande till de tidigare studerade systemen i klassen Meixner–Pollaczek-polynom. Begränsningsegenskaper hos två singulära integraloperatorer av faltningstyp utreds i Hilbertrum relaterade till de relevanta ortogonala polynomen. Ortogonala polynom används för att bevisa begränsning i viktade rum och Fourieranalys används för att bevisa begränsning i det translationsinvarianta fallet. Det bevisas i båda fallen att de två operatorerna är begränsade på L2-rummen, och uppskattningar av normerna tas fram.

Den andra delen utvidgar till Lp-rum på reella tallinjen undersökningen av begränsnings­egenskaperna hos de två singulära integral­operatorerna, både på viktade och oviktade rum. Det bevisas att de båda operatorerna är begränsade på dessa rum och uppskattningar av normerna erhålls. Detta uppnås genom att först bevisa begränsning för L2 och svag begränsning för L1, och sedan använda interpolation att erhålla begränsning för de mellanliggande rummen. För att erhålla begränsning för övriga Lp-rum används dualitet i det translationsinvarianta fallet, medan detta i det viktade fallet delvis bygger på en metod av M. Riesz i hans artikel från 1928 om konjugatfunktions­operatorn.

Den tredje och sista delen härleder enkla och explicita formler för omkastning av element i en algebra med tre generatorer och relationer av Lie-typ. Som ett exempel på en tillämpning av formlerna beräknas centralisatorer och centra.

Place, publisher, year, edition, pages
Västerås: Malardalen University Press , 2017.
Series
Mälardalen University Press Licentiate Theses, ISSN 1651-9256 ; 260
National Category
Mathematical Analysis
Research subject
Mathematics/Applied Mathematics
Identifiers
URN: urn:nbn:se:mdh:diva-35204ISBN: 978-91-7485-320-9 (print)OAI: oai:DiVA.org:mdh-35204DiVA: diva2:1089499
Presentation
2017-05-31, Kappa, Malardalen University, Västerås, 13:15 (English)
Opponent
Supervisors
Available from: 2017-04-20 Created: 2017-04-20 Last updated: 2017-05-11Bibliographically approved

Open Access in DiVA

fulltext(405 kB)34 downloads
File information
File name FULLTEXT01.pdfFile size 405 kBChecksum SHA-512
721f75efb0e554ab78a73e632718620be38ec065cfd322223f900011aeec1e99fcaca367549ba1ee59a53e2cd7ab95529066dcda8714a3f4da196c6430e3fee8
Type fulltextMimetype application/pdf

Search in DiVA

By author/editor
Musonda, John
By organisation
School of Education, Culture and Communication
Mathematical Analysis

Search outside of DiVA

GoogleGoogle Scholar
Total: 34 downloads
The number of downloads is the sum of all downloads of full texts. It may include eg previous versions that are now no longer available

Total: 505 hits
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf