The focus of this thesis is to introduce the path integral and some of its applications. One interpretation of quantum mechanics is that a microscopic system which moves from an initial- to a final state moves through each possible intermediate state. The path integral uses the principle of least action to sum over all such intermediate states to find the evolution of a quantum mechanical system. We compare the path integral approach to that of the Schrödinger equation and show that the two give an equivalent description of quantum mechanics.

To demonstrate the usefulness of the path integral, we introduce low-dimensional quantum field theory (QFT). In particular, we discuss Feynman diagrams. The idea behind Feynman diagrams is to sum over all possible weak interactions between fields to evaluate the properties of a system through the path integral. We also carry out a computation of a low energy effective action in a 0-dimensional model. The result of the computation shows that there is free energy also in a vacuum. Finally, we briefly generalize some of the previous discussion to 1-dimensional QFT. To give an example of a practical application, we give a qualitative discussion of how the path integral can be applied to statistical mechanics to predict the behaviour of superfluids.

Målet med den här rapporten är att introducera konceptet vägintegral och några av dess applikationer. En tolkning av kvantmekanik är att ett mikroskopiskt system som går från ett initialt- till ett slutgiltigt tillstånd kommer att passera genom alla möjliga mellanliggande tillstånd. Vägintegralen använder sig av principen om minsta verkan för att summera över alla sådana mellanliggande tillstånd för att hitta utvecklingen hos ett system. Vi kommer att jämföra vägintegralen med Schrödingers ekvation och visa att de två ger en ekvivalent beskrivning av kvantmekaniken.

För att demonstrera vägintegralens användbarhet introducerar vi lågdimensionell kvantfältteori. Vi diskuterar speciellt Feynmandiagram. Idén bakom Feynmandiagram är att summera över alla möjliga svaga interaktioner mellan fält för att utvärdera fysikaliska egenskaper hos system med hjälp av vägintegraler. Vi kommer också att utvärdera en effektiv verkan i 0-dimensionell kvantfältteori. Resultatet visar att det finns fri energi även i ett vakuum. Slutligen generaliserar vi delar av vår tidigare diskussion till 1-dimensionell kvantfältteori. Som ett exempel på praktiska applikationer för vi en kvalitativ diskussion kring hur vägintegraler kan användas inom statistisk mekanik för att förutsäga egenskaper hos superfluider.